dp(i,j)表示1~i的排列中, 以1~j为开头且开头是下降的合法方案数
这种数列具有对称性, 即对于一个满足题意且开头是上升的n的排列{an}, 令bn = n-an+1, 那么{bn}就是一个满足题意且开头是下降的序列
dp(i,j) = dp(i,j-1) + dp(i-1,i-j+1). 前一个好理解, 就是求排列i, 1~j-1开头的, 后一种就是求以j开头, 那么原来的排列i-1应该以1~j-1开头, 但是开头又得是上升的(这样加上j后才会符合题意), 所以就是dp(i-1,(i-1)-(j-1)+1)
最后答案*2(算上开头上升的), 用滚动数组. 时间复杂度O(N2), 空间复杂度O(N)
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 4209;
int N, MOD, dp[2][maxn];
int main() {
scanf("%d%d", &N, &MOD);
memset(dp, 0, sizeof dp);
int c = 0, p = 1;
dp[c][1] = 1;
for(int i = 2; i <= N; i++) {
swap(c, p);
memset(dp[c], 0, sizeof dp[c]);
for(int j = 1; j <= i; j++) {
dp[c][j] = dp[c][j - 1] + dp[p][i - j + 1];
if(dp[c][j] >= MOD)
dp[c][j] -= MOD;
}
}
int ans = 0;
for(int i = 1; i <= N; i++)
if((ans += dp[c][i]) >= MOD) ans -= MOD;
printf("%d\n", (ans << 1) % MOD);
return 0;
}
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1925: [Sdoi2010]地精部落
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 64 MB Submit: 965 Solved: 580 [ ][ ][ ]Description
传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。
Input
仅含一行，两个正整数 N, P。
Output
仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。
Sample Input
4 7
Sample Output
3
HINT
对于 20%的数据，满足 N≤10； 对于 40%的数据，满足 N≤18； 对于 70%的数据，满足 N≤550； 对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109 Source